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Gegeben sei # a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 25; x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 36 und ax + durch + cz = 30 # für a, b, c ist real. Wie beweisen Sie # a / x = b / y = c / z = 5/6 #?

Antworten:

Siehe Demo unten

Erläuterung:

Angenommen, Sie haben drei Punkte in # R ^ 3 #

# p_1 = (a, b, c) #
# p_2 = (x, y, z) #
# p_0 = (0,0,0) #

Die jeweiligen Längen der Seiten # p_1-p_0 # und # p_2-p_0 #
sind

#norm (p_1-p_0) = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #
#norm (p_2-p_0) = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) #

und ihr Skalarprodukt

# (p_1-p_0). (p_2-p_0) = ax + by + cz #

aber # (p_1-p_0). (p_2-p_0) = norm (p_1-p_0) norm (p_2-p_0) cos (hat (p_1p_0p_2)) #

so

#cos (hat (p_1p_0p_2)) = (ax + by + cz) / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) = 30 / (5x 6) = 1 #

Dann die Seiten # p_1-p_0 # und # p_2-p_0 # sind so ausgerichtet
# (p_1-p_0) = Lambda (p_2-p_0) # und natürlich

#lambda = 5/6 #

Antworten:

Ein anderer Weg

Erläuterung:

Für diejenigen, die weniger wissen

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 25…. (1) #
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 36 ……. (2) #
# ax + by + cz = 30… .. (3) #

Gleichung (1) durch teilen #5^2# wir haben
# (a / 5) ^ 2 + (b / 5) ^ 2 + (c / 5) ^ 2 = 1 ... (4) #

Gleichung (2) durch teilen #6^2#wir haben
# (x / 6) ^ 2 + (y / 6) ^ 2 + (z / 6) ^ 2 = 1 ... (5) #

Wir teilen die Gleichung (3) durch 30
# (a / 5 * x / 6) + (b / 5 * y / 6) + (c / 5 * z / 6) = 1 ... (6) #

Durch Hinzufügen von Gleichung (4); (5) und zweimaliges Abziehen von Gleichung (6) von ihrer Summe erhalten wir

# (a / 5-x / 6) ^ 2 + (b / 5-y / 6) ^ 2 + (c / 5-z / 6) ^ 2 = 0 #

a, b, c, x, y, z sind reelle und die Summe der drei quadratischen Ausdrücke Null, also sollte jeder von ihnen Null sein.

Daher # a / 5-x / 6 = 0 => a / x = 5/6 #
Ähnlich, # b / y = 5/6 und c / z = 5/6 #
# :. a / x = b / y = c / z = 5/6 #
Bewiesen