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Wie können Sie feststellen, ob eine Gleichung unendlich viele Lösungen hat?

Antworten:

Ein paar Gedanken ...

Erläuterung:

Hier sind einige Möglichkeiten:

  • Die Gleichung vereinfacht sich dahingehend, dass sie keine Variable mehr enthält, sondern eine wahre Gleichung, z. #0 = 0#. Zum Beispiel: # 2x + 2 = 2 (x + 1) # auf diese Weise vereinfacht.

  • Die Gleichung hat eine identifizierbare Lösung und ist periodischer Natur. Zum Beispiel: # tan ^ 2 x + tan x - 5 = 0 # hat unendlich viele Lösungen seitdem #tan x # hat zeitraum #Pi#.

  • Die Gleichung hat ein stückweises Verhalten und vereinfacht in mindestens einem der Intervalle eine echte Gleichung ohne Variablen. Zum Beispiel: #abs (x + 1) + abs (x-1) = 2 #, was sich zweckmäßig vereinfacht für #x in [-1, 1] #.

  • Die Gleichung hat mehr als eine Variable und erzwingt keine Eindeutigkeit. Zum Beispiel: # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 # hat unendlich viele Lösungen, aber # x ^ 2 + y ^ 2 = 0 # hat eine Lösung (vorausgesetzt #x, y in RR #).

Beachten Sie, dass es extrem schwierig sein kann, die Anzahl der Lösungen bei Diophantine-Gleichungen zu bestimmen - Gleichungen, bei denen die Werte der Variablen auf ganze oder positive ganze Zahlen beschränkt sind.

Zum Beispiel vermutete Euler, dass die Gleichung:

# x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 = w ^ 4 #

hatte keine nicht trivialen Lösungen, aber Noam Elkies fand 1988 eine, daher gibt es unendlich viele nicht triviale Lösungen, da jede Lösung mit einer vierten Potenz multipliziert werden kann.