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Wie beweisen Sie, dass #sqrt (4 + 2sqrt (3)) = sqrt (3) + 1 # ist?

Eine Möglichkeit zu zeigen, dass die linke Seite gleich der rechten ist, besteht darin, zu zeigen, dass ihr Quotient gleich ist #1#. Beginnend mit dem Quotienten haben wir

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) #

Lassen Sie uns zunächst den Nenner rationalisieren

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / ((sqrt (3) +1)) xx (sqrt (3) -1)) #

# = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / ((sqrt (3)) ^ 2-1 ^ 2) #

# = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / (3-1) #

# = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / 2 #

Da muss der Quotient gleich sein #1# Wenn die angegebenen Ausdrücke gleich sind, müssen wir jetzt zeigen, dass der Zähler gleich ist #2#.

#sqrt (4 + 2qm (3)) xx (sqrt (3) -1) = sqrt (4 + 2sqrt (3)) xxsqrt ((sqrt (3) -1) ^ 2)

(Beachten Sie, dass der obige Schritt aus Gründen des #sqrt (3) -1> 0 #. Ob #x> = 0 #, dann #x = sqrt (x ^ 2) #. Ob #x <0 #, dann # x = -sqrt (x ^ 2) #)

# = sqrt ((4 + 2sqrt (3)) (sqrt (3) -1) ^ 2) #

# = sqrt ((4 + 2sqrt (3)) (3-2sqrt (3) +1)) #

# = sqrt ((4 + 2sqrt (3)) (4-2sqrt (3)) #

# = sqrt (4 ^ 2- (2sqrt (3)) ^ 2) #

# = sqrt (16-12) #

(Wie bei der Rationalisierung des Nenners verwenden wir die Identität # (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #)

# = sqrt (4) #

#=2#

Nachdem wir nun gezeigt haben, dass der Zähler die gewünschte Eigenschaft hat, können wir den Rest des Problems ganz einfach lösen.

#sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) = (sqrt (4 + 2sqrt (3)) xx (sqrt (3) -1)) / ((sqrt (3) +1)) xx (sqrt (3) -1)) = 2/2 = 1 #

# => sqrt (4 + 2sqrt (3)) / (sqrt (3) +1) xx (sqrt (3) +1) = 1xx (sqrt (3) +1) #

# :. sqrt (4 + 2sqrt (3)) = sqrt (3) + 1 #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Dieser Ausdruck hat die Struktur

#sqrt (a + bsqrt (3)) = csqrt (3) + d # beide Seiten quadrieren

# a + bsqrt (3) = 3 c ^ 2 + 2 sqrt [3] c d + d ^ 2 # Paarung von Begriffen

# {(a - 3 c ^ 2 - d ^ 2 = 0), (b - 2 c d = 0):} #

Lösen für #CD# wir haben

#c = pmsqrt [a pm sqrt [a ^ 2 - 3 b ^ 2]] / sqrt [6] #
# d = pm (sqrt [3/2] b) / sqrt [a - sqrt [a ^ 2 pm 3 b ^ 2]] #

Ob # a = 4, b = 2 # wir haben die möglichkeiten

# ((c = -1 / sqrt [3], d = -sqrt [3]), (c = 1 / sqrt [3], d = sqrt [3]), (c = -1, d = -1 ), (c = 1, d = 1)) #

Antworten:

Siehe Beschreibung...

Erläuterung:

Beachten Sie, dass:

# (sqrt (3) +1) ^ 2 = (sqrt (3)) ^ 2 + 2 (sqrt (3)) + 1 #

#Farbe (weiß) ((sqrt (3) +1) ^ 2) = 3 + 2 sqrt (3) + 1 #

#color (weiß) ((sqrt (3) +1) ^ 2) = 4 + 2sqrt (3) #

Schon seit #sqrt (3) +1> 0 #können wir die positive Quadratwurzel beider Enden nehmen, um zu erhalten:

#sqrt (3) + 1 = sqrt (4 + 2sqrt (3)) #