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Finde alle echten Matrizen # A #, so dass # A² = I (2) # (# A # ist eine Matrix zweiter Ordnung)?

Antworten:

Lösungen:

#((1,0),(0,1))#, #((-1,0),(0,-1))#, # ((1,0), (c, -1)) #, # ((- 1,0), (c, 1)), ((a, b), ((1-a ^ 2) / b, -a)) #

Erläuterung:

Annehmen #A = ((a, b), (c, d)) #

Dann:

# A ^ 2 = ((a, b), (c, d)) ((a, b), (c, d)) = ((a ^ 2 + bc, b (a + d)), (c (a + d), d ^ 2 + bc)) #

Also wenn wir wollen # A ^ 2 = ((1,0), (0,1)) # dann erhalten wir die folgenden Gleichungen:

# {(a ^ 2 + bc = 1), (b (a + d) = 0), (c (a + d) = 0), (d ^ 2 + bc = 1):} #

Aus der zweiten Gleichung haben wir # b = 0 # und / oder # a + d = 0 #

#Farbe weiß)()#
Fall #bb (b = 0) #

#a = + - 1 #, #d = + - 1 #

Wenn zusätzlich # a = -d # dann # c # kann einen beliebigen Wert haben. Andernfalls # c = 0 #.

So der Fall # b = 0 # Ergebnisse in Lösungen:

#((1,0),(0,1))#, #((-1,0),(0,-1))#, # ((1,0), (c, -1)) #, # ((- 1,0), (c, 1)) #

#Farbe weiß)()#
Fall #bb (a + d = 0) #

#bc = 1 - a ^ 2 #

Daraus ergeben sich Lösungen:

# ((a, b), ((1-a ^ 2) / b, -a)) #

#Farbe weiß)()#
Alle diese Lösungen funktionieren.

Antworten:

Siehe unten

Erläuterung:

Gegeben

#A = ((a_ {11}, a_ {12}), (a_ {21}, a_ {22})) #

wir brauchen alles #EIN# so dass

#A cdot A = I (2) #

woher

#I (2) = ((1,0), (0,1)) #

Das System der resultierenden Gleichungen lösen

# {(a_ (11) ^ 2 + a_ (12) a_ (21) = 1), (a_ (11) a_ (12) + a_ (12) a_ (22) = 0), (a_ (11) a_ (21) + a_ (21) a_ (22) = 0), (a_ (12) a_ (21) + a_ (22) ^ 2 = 1):} #

wir haben

# A_1 = ((Lambda_1, Lambda_2), ((1-Lambda_1 ^ 2) / Lambda_2, -lambda_1)) #
# A_2 = ((- 1,0), (Lambda_1,1)) #
# A_3 = -A_2 #
# A_4 = I (2) #
# A_5 = -I (2) #

Zum # lambda_1 in RR # und # (lambda_2 ne 0) in RR #