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Faktorisieren # x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = #?

Antworten:

# x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = (x + (3-6sqrt (2) i) y) (x + (3 + 6sqrt (2) i) y) #

Erläuterung:

Die Aufgabe des Factoring # x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 # ist dem Factoring sehr ähnlich # x ^ 2 + 6x + 81 #.

Putten # a = 1 #, # b = 6 # und # c = 81 #Wir finden das die Diskriminante #Delta# ist negativ:

#Delta = b ^ 2-4ac = 6 ^ 2-4 (1) (81) = 36 - 324 = -288 #

Schon seit #Delta <0 # Dieses Quadrat hat keine Faktoren mit Real-Koeffizienten. Wir können es mit Hilfe von komplexen Koeffizienten berechnen, zum Beispiel durch Ausfüllen des Quadrats ...

# x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2 + 72y ^ 2 #

#Farbe (weiß) (x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2) = x ^ 2 + 2x (3y) + (3y) ^ 2 + (6sqrt (2) y) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2) = (x + 3y) ^ 2- (6sqrt (2) iy) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2) = ((x + 3y) -6sqrt (2) iy) ((x + 3y) + 6sqrt (2) iy) #

#Farbe (weiß) (x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2) = (x + (3-6sqrt (2) i) y) (x + (3 + 6sqrt (2) i) y) #

Antworten:

Eine echte Faktorisierung im ersten Grad ist nicht möglich.

Erläuterung:

In Anbetracht der Möglichkeit von

# x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = (ax + by) (cx + dy) #

Ob # x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = 0 #

wäre äquivalent zu

# (ax + by) (cx + dy) = 0 # aber wenn wir lösen

# x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = 0 # dann

#x = (-3 pm 6 i sqrt [2]) y #

was bedeutet, dass die einzige Lösung für # x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 = 0 # ist #x = 0, y = 0 #. Also keine wirkliche Faktorisierung für # x ^ 2 + 6xy + 81y ^ 2 # erster grad ist möglich.