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Frage # a26cd

Antworten:

#105#

Erläuterung:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Wir werden einige betrachten, wobei wir immer leistungsfähigere kombinatorische (Zählwerkzeuge) verwenden. Wenn ein einzelnes Paar übrig bleibt, entspricht dieses Problem der Ermittlung der Anzahl der Teilungsmöglichkeiten #8# verschiedene Objekte in #4# Paare.

Methode 1: Direktes Zählen

Beschriften Sie die Objekte #1-8#. Zuerst wählen wir das Paar inklusive aus #1#. Es gibt #7# Möglichkeiten dies zu tun: #(1,2), (1,3), ..., (1,8)#.
Als Nächstes wählen wir das Paar aus, das das kleinste der verbleibenden sechs Objekte enthält. Es gibt #5# Möglichkeiten dies zu tun. Zum Beispiel wenn #(1,2)# verwendet wurde, dann würden sie sein #(3,4), (3,5), ..., (3,8)#
Als Nächstes wählen wir das Paar aus, das die geringsten der verbleibenden enthält #4# Objekte. Es gibt #3# Möglichkeiten dies zu tun. Das letzte Paar wird das restliche sein #2# Objekte.

Alles zusammen zu setzen, das gibt uns #7*5*3 = 105# Wege.

Methode 2: Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # kann als die Anzahl der Wahlmöglichkeiten gesehen werden # k # Objekte aus einer Reihe von # n # Objekte. Damit:

Es gibt #((8),(2))# Wege zu wählen #2# Objekte für das erste Paar. Dann gibt es #((6),(2))# Wege zu wählen #2# von den restlichen #6# für das zweite Paar. Als nächstes gibt es #((4),(2))# Wege zu wählen #2# für das dritte Paar und dann #((2),(2))# Möglichkeiten, das letzte Paar zu wählen.

Beachten Sie jedoch, dass dies mehr zählt als wir wollten. Mit den obigen Angaben zählen wir #(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)# und #(3,4),(1,2),(5,6),(7,8)# als separate Fälle, weil die erste Gruppe anders behandelt wird als die zweite Gruppe usw. Um dies zu beheben, können wir die Anzahl der Möglichkeiten für die Anordnung der Gruppen unterscheiden. Da gibt es #n! # Möglichkeiten, eine Reihe von zu arrangieren # n # Objekte, wir teilen uns durch #4!# unterschiedliche Anordnungen der zu berücksichtigen #4# Paare. So wird das Endergebnis

#((8),(2)) * ((6),(2)) * ((4),(2)) * ((2),(2)) * 1/(4!)#

# = (8!) / (2! Abbrechen (6!)) * Abbrechen (6!) / (2! Abbrechen (4!)) * Abbrechen (4!) / (2! Abbrechen (2!)) * Abbrechen (2!) / (2! 0!) * 1 / (4!) #

#=(8!)/(2!2!2!2!4!)#

#=105#

Methode 3: Multinomiale Koeffizienten

Der Multinomialkoeffizient # ((,, n ,,), (k_1, k_2 ,, ..., k_m)) = (n!) / (k_1! k_2! ... k_m!) # kann als die Anzahl von Möglichkeiten angesehen werden, eine Gruppe von zu teilen # n # Gegenstände in # m # verschiedene Gruppen von Größen # k_1 # durch # k_m #.

Auf das gegebene Problem angewendet, teilen wir uns #8# Gegenstände in #4# Gruppen mit jeweils einer Größe #2#. Daher verwenden wir den Multinomialkoeffizienten #((,,8,,),(2,2,2,2,))#. Da dies jedoch die Gruppen als unterschiedlich behandelt, zählen wir zu viele und müssen sich die Anzahl der Möglichkeiten teilen, die Paare so anzuordnen, dass wiederholte Auswahlmöglichkeiten berücksichtigt werden. Da gibt es #4!# Möglichkeiten, das zu arrangieren #4# Paare, gibt uns also das Endergebnis:

#((,,8,,),(2,2,2,2,))*1/(4!) = (8!)/(2!2!2!2!)*1/(4!) = 105#