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Länge der Kette ABCD berechnen? Siehe Bild unten.

Antworten:

# ~~ 57.21cm #

Erläuterung:


In diesem Diagramm sind sowohl CD als auch AB zwei direkte gemeinsame Tangenten zweier Zentrierkreise # O_1 und O_2 #

Beide Tangenten stehen an den Berührungspunkten mit den Radien der Kreise senkrecht.

Wenn wir eine Linie ziehen # O_2E # parallel zur CD von der Stelle # O_2 # und es schneidet # O_1D # bei E dann # DCO_2E # wird ein Rechteck sein.

Jetzt in # DeltaO_1O_2E #

# O_1E = O_1D-DE = O_1D-O_2C = (8-3) cm = 5cm #

# CD = O_2E = sqrt (O_1O_2 ^ 2-O_1E ^ 2) #

# = sqrt (25 ^ 2-5 ^ 2) #

# = 10sqrt6 cm #

So

# cos / _DO_1O_2 = cos / _EO_1O_2 #

# = (O_1E) / (O_1O_2) = 5/25 = 1/5 #

# => / _ DO_1O_2 = cos ^ -1 (1/5) #

Jetzt

# / _ CO_2B = / _ DO_1A = 2 / _DO_1O_2 #

# = 2cos ^ -1 (1/5) = 2,74rad #

So
# "arcCB" / (O_2B) = 2.74 #

# => arcCB = 2.74xxO_2B = 2.74xx3 = 8.22cm #

Also Länge der Kette ABCD

# = AB + CD + arcBC #

# = 2CD + arcBC #

# = 2xx10sqrt6 + 8.22 ~~ 57.21cm #

Wenn die volle Kettenlänge in Rot erforderlich ist, müssen wir die gegenüberliegende Bogenlänge messen Reflex# / _ DO_1A #

Jetzt

Reflex# / _ DO_1A = 2pi-2,74 ~~ 3,54rad #

Bogenlänge also entgegengesetzt Reflex# / _ DO_1A #
# = 8xx3.54 = 28.32 #

Also Gesamtkettenlänge # = 57,21 + 28,32 = 85,53 cm #

Antworten:

Erklärende Schritte zur Lösung, die bereits von @dk_ch gepostet wurden

Erläuterung:


Länge der Kette # ABCD = DC + "kleiner Bogen" CB + BA # ......(1)

In dem gegebenen Bild beide #DC und AB # sind zwei gemeinsame Tangenten zweier kreisförmiger Zähne mit jeweiligen Zentren # O_1 und O_2 #

Die Tangenten stehen an den Berührungspunkten senkrecht zu den jeweiligen Radien der Kreise.

Konstruktion:
Lassen Sie uns eine Linie ziehen # O_2E # neben # DC # von diesem Punkt # O_2 # aso dass es Radius trifft # O_1D # beim # E #. Wie die Figur # DCO_2E # hat alle inneren Winkel #90^@#ist es ein Rechteck.

Vom Bau
Die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind gleich
#:.# Seiten # DE = CO_2 = 3cm # ...(2)

Rechts #Delta EO_1O_2 #

# EO_1 = "Radius größerer Zahn" - "Seite DE" = DO_1-DE #
Verwenden von (3)
# EO_1 = 8-3 = 5cm #

Auch zur Seite # DC = O_2E = sqrt ((O_1O_2) ^ 2- (O_1E) ^ 2) #

# => DC = sqrt (25 ^ 2-5 ^ 2) #

# => DC = 10sqrt6 cm #

Von der Symmetrie # DC = AB = 10sqrt6 cm # ......(3)

Berechnen # "kleiner Bogen" CB # wir müssen minderheit finden # angleCO_2B #.
Welches ist #=#geringer # angleDO_1A #

Wieder rechts #Delta EO_1O_2 #

# cos / _EO_1O_2 = (O_1E) / (O_1O_2) = 5/25 = 1/5 #

# => / _ EO_1O_2 = cos ^ -1 (1/5) #

Jetzt aus Symmetrie

geringer # / _ CO_2B = # geringer # / _ DO_1A = 2 / _EO_1O_2 #

# = 2cos ^ -1 (1/5) # .......(4)

Wir wissen das in einem Radiuskreis # r # Bogenlänge, die einen Winkel bildet # theta # im Zentrum
Länge des Bogens# = rtheta #
woher # theta # ist im Bogenmaß.

# => "kleiner Bogen" CB "= (O_2B) xx2cos ^ -1 (1/5) #
# => "kleiner Bogen" CB "= 3xx2cos ^ -1 (1/5) #
# => "kleiner Bogen" CB "= 6cos ^ -1 (1/5) # ...... (5)

Durch Einfügen von Werten aus (4) und (5) in Gleichung (1) erhalten wir

Länge der Kette # ABCD = 10sqrt6 + 6cos ^ -1 (1/5) + 10sqrt6 #
#=>#Länge der Kette # ABCD = 20sqrt6 + 6cos ^ -1 (1/5) #
#=>#Länge der Kette # ABCD = 48,99 + 8,22 = 57,2 cm #auf eine Dezimalstelle gerundet.