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Infinitesimalrechnung: Finden Sie die ersten fünf Terme der Taylor-Reihe für x ^ 8 + x ^ 4 +3 "um" x = 0? - 2020

Anonim

Antworten:

Erste Begriffe ungleich Null:
# 3 + x ^ 4 + x ^ 8 #

Serie bewertet von # n = 0 # zu # n = 4 #:
# 3 + 0 + 0 + 0 + x ^ 4 #

Erläuterung:

Da ist nicht ganz klar, ob die Frage nach den ersten fünf Fragen gestellt wird ungleich Null Terme oder die ersten fünf Terme, die aus der Sigma-Notation einer Taylor-Serie erzeugt werden, werden beide angegeben.

Die Taylor-Serie konzentrierte sich auf # c # für eine Funktion #f (x) # ist gegeben durch

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oo f ^ ((n)) (c) / (n!) (x-c) ^ n #

woher #f ^ ((n)) (c) # ist der # n ^ "th" # Ableitung von # f #bewertet am # c #.

In unserem Fall haben wir #f (x) = x ^ 8 + x ^ 4 + 3 #

Wie # f # ist ein Polynom, aber das können wir erkennen #f ^ ((n)) (0) # wird nur dann ungleich Null sein #f ^ ((n)) (x) # enthält einen konstanten Begriff, dh für #n in {0, 4, 8} #. Für alle anderen Derivate hat jeder Begriff einen Faktor von # x #und so wird es sein #0# wenn ausgewertet bei #0#.

Als solche die Taylor-Serie für #f (x) # wird nur drei Begriffe haben:

#f (0) / (0!) (x-0) ^ 0 = (0 ^ 8 + 0 ^ 4 + 3) / 1 * 1 = 3 #

(f) ((4)) (0) / (4!) (x-0) ^ 4 = (8 * 7 * 6 * 5 * 0 ^ 4 + 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3) * 2 * 1) x ^ 4 = x ^ 4 #

(f) ((8)) (0) / (8!) (x-0) ^ 8 = (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (8 * 7 * 6 * 5) * 4 * 3 * 2 * 1) x ^ 8 = x ^ 8 #

Daher ist die Taylor-Serie für #f (x) # ist # 3 + x ^ 4 + x ^ 8 #was gerade ist #f (x) #. Dieses Ergebnis sollte uns nicht überraschen, denn eine Taylor-Serie ist tatsächlich eine Polynomdarstellung einer Funktion. Wenn die Funktion ein Polynom ist, sollten sie identisch sein.

Wie für die Begriffe aus # n = 0 # zu # n = 4 # In der Serie haben wir aus der obigen Überlegung das #f ^ ((n)) (0) / (n!) (x-0) ^ n = 0 # zum #n in {1, 2, 3} #. So sind die ersten fünf Begriffe der Serie # 3, 0, 0, 0, x ^ 4 #.