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Infinitesimalrechnung: Ein rechter Zylinder ist in eine Kugel mit dem Radius r eingeschrieben. Wie finden Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders? - 2020

Anonim

Antworten:

# V = (4 sqrt3 pi r ^ 3) / 9 #

Erläuterung:

Dieses Optimierungsproblem umfasst mehrere Schritte.

1.) Finden Sie die Gleichung für das Volumen eines Zylinders, der in eine Kugel eingeschrieben ist.
2.) Finden Sie die Ableitung der Volumengleichung.
3.) Setzen Sie die Ableitung auf Null und lösen Sie, um die kritischen Punkte zu identifizieren.
4.) Stecken Sie die kritischen Punkte in die Volumengleichung, um die maximale Lautstärke zu ermitteln.

Am besten beginnen Sie mit dem Zeichnen eines Diagramms. Das Bild unten zeigt den Zylinder in der Kugel. Angesichts der Höhe # h #können wir den Radius des Zylinders in Form von finden # r # mit dem Satz des Pythagoras.

Beachten Sie, dass # h # bezieht sich auf die Hälfte der Gesamthöhe des Zylinders. Ich entschied mich zu verwenden # h # anstatt # h / 2 # Dinge später vereinfachen.

Um das Volumen unseres Zylinders zu ermitteln, müssen wir die Fläche des Aufsatzes mit der Gesamthöhe des Zylinders multiplizieren. Mit anderen Worten;

# V = pi ("Radius des Zylinders") ^ 2 ("Höhe des Zylinders") #

#V = pi (sqrt (r ^ 2-h ^ 2)) ^ 2 (2h) #

#V = 2 pi h (r ^ 2-h ^ 2) #

Dies ist unsere Volumenfunktion. Als nächstes nehmen wir die Ableitung der Volumenfunktion und setzen sie gleich Null. Wenn wir das bewegen # h # In der Klammer müssen wir nur die Potenzregel verwenden, um die Ableitung zu erhalten.

# V = 2 pi (r ^ 2h-h ^ 3) #

# d / (dx) V (h) = 2 pi (r ^ 2-3h ^ 2) = 0 #

Das # 2pi # teilt sich auf und wir bleiben zurück;

# r ^ 2-3h ^ 2 = 0 #

Nach einigem Umstellen;

# h ^ 2 = r ^ 2/3 #

Nimm die Quadratwurzel von beiden Seiten.

#h = r / sqrt3 #

Dies ist unsere optimierte Höhe. Um das optimierte Volumen zu finden, müssen wir dieses in die Volumenfunktion einstecken.

# V = 2 pi h (r ^ 2-h ^ 2) = 2 pi (r / sqrt3) (r ^ 2- (r / sqrt3) ^ 2) #

Vereinfachen.

# V = (2 pi r) / sqrt3 (r ^ 2-r ^ 2/3) #

# V = (2 pi r) / sqrt3 ((3r ^ 2 - r ^ 2) / 3) #

# V = (2 pi r) / sqrt3 ((2r ^ 2) / 3) #

# V = (4 pi r ^ 3) / (3sqrt3) #

# V = (4 sqrt3 pi r ^ 3) / 9 #

Dies ist das optimierte Volumen für den Zylinder. Es ist ein guter Check, um das zu bemerken # V # ist in Bezug auf # r ^ 3 # da das Volumen kubische Einheiten haben sollte. Mit anderen Worten, wenn unser Radius in Metern angegeben würde, wären unsere Volumeneinheiten # "m" ^ 3 #