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Konvergiert oder divergiert die Serie? Verwenden Sie den Integraltest.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

.

#sum_ (n = 1) ^ oo (1/2 ^ n) #

Um zu beweisen, dass diese Serie unter Verwendung des Integraltests konvergiert, müssen wir zuerst beweisen, dass das Integral dieser Funktion konvergiert. Der Grund dafür wird klarer, wenn wir uns den Graph dieser Funktion wie unten gezeigt ansehen.

Wie Sie wissen, ergibt das Integral dieser Funktion, das zwischen bestimmten Grenzwerten ausgewertet wird, die Fläche unter der Kurve.

Der Unterschied zwischen der Summe und dem Integral ist, dass im Falle der Summe # x # nimmt in ganzen ganzen Zahlen zu, d. h #1# zu einer Zeit Das heisst # x # nimmt Werte von #1, 2, 3, 4, ....# Die gebrochenen Werte zwischen den ganzen Zahlen werden bei der Berechnung jedoch nicht berücksichtigt, d.h. # x # nimmt nicht den Wert von #1.2, 2.4, ...#.

Wenn Sie also die Fläche unter der Kurve mit Hilfe der Summe berechnen, werden die Flächen einer Reihe von Rechtecken unter der Kurve addiert und addiert, wodurch Brocken der Fläche unter der Kurve nicht berücksichtigt werden. Und die Anzahl der Rechtecke ist viel geringer als beim Integral.

Aber das Integral tut das kontinuierlich und gibt uns den genauen Bereich, weil es alle Werte von übernimmt # x # berücksichtigt und fügt eine unendlich größere Anzahl unendlich kleinerer Rechtecke hinzu und erzeugt die Fläche, die größer ist als die Summe.

Dies ist der Graph der Funktion # y = 1 / (2 ^ x) #. Ich habe drei der Rechtecke unter der Kurve gezeichnet, die darstellen # x = 1, 2 und 3 #. In der Summe, die in diesem Problem angegeben ist, stellt sie dar # n = 1, 2 und 3 # die geben uns die ersten drei Werte für das Argument der Summe. Wenn wir diesen Prozess bis nach fortsetzen # oo # Wir haben eine unendliche Anzahl von Rechtecken, deren Bereiche addiert werden, um den Wert der Summe (einen ungenauen Bereichswert) zu erhalten.

Aber wenn wir die Funktion integrieren und dazwischen auswerten #1# und # oo # Wir werden genau das Gebiet haben.

Wenn wir nachweisen können, dass das Integral konvergiert, d. H. Uns einen endlichen Wert für die Fläche ergibt, werden wir beweisen, dass die Summe definitiv konvergiert, weil sie immer kleiner ist als das, was uns das Integral gibt. Lassen Sie uns das Integral berechnen:

# int_1 ^ oo1 / (2 ^ x) dx #

Lassen # u = -x,:. du = -dx,:. dx = -du #ersetzend erhalten wir:

# -int2 ^ udu #

Anwendung der Exponentialregel:

# inta ^ udu = a ^ u / lna #, woher # a = 2 # in unserem Problem und wir bekommen:

# -int2 ^ udu = -2 ^ u / ln2 #

Jetzt setzen wir zurück:

# int_1 ^ oo1 / 2 ^ xdx = (- 2 ^ (- x) / ln2) _1 ^ oo = (-1 / (ln2 (2 ^ x))) _ 1 ^ oo = (0 - (- 1 / (2ln2) )) = 1 / (2ln2) = 0,7213475204444817 #

Wie Sie sehen, ist dies ein begrenzter Wert für die Fläche. Daher konvergiert das Integral. Als solches konvergiert die Summe definitiv.