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Ein Dreieck hat die Ecken A, B und C, die sich an # (2, 3) #, # (5, 8) # und # (3, 4) # befinden. Was sind die Endpunkte und die Länge der Höhe, die durch die Ecke C geht?

Antworten:

# 2 / sqrt34 # und Endpunkte sind #(46/17, 71/17), (56/17, 65/17)#

Erläuterung:

Die Ecken von # Delta ABC # sind #A (2, 3) #, #B (5, 8) # & #C (3, 4) #

Das Gebiet #Delta# von # Delta ABC # wird durch folgende Formel gegeben

# Delta = 1/2 | 2 (8-4) + 5 (4-3) +3 (3-8) | = 1 #

Nun die Länge der Seite # AB # ist gegeben als

# AB = sqrt {(2-5) ^ 2 + (3-8) ^ 2} = sqrt34 #

Ob # CN # ist die Höhe, die vom Scheitelpunkt C zur Seite AB gezogen wird, dann die Fläche von # Delta ABC # ist gegeben als

# Delta = 1/2 (CN) (AB) #

# 1 = 1/2 (CN) ( sqrt34) #

# CN = 2 / sqrt34 #

Lassen #N (a, b) # sei der Fuß der Höhe CN, die aus dem Scheitelpunkt gezogen wird #C (3, 4) # zur Seite AB dann Seite # AB # & Höhe # CN # sind normal zueinander, d. h. das Produkt der Steigungen von AB & CN muss sein #-1# wie folgt

# frac {b-4} {a-3} times frac {8-3} {5-2} = - 1 #

# b = frac {29-3a} {5} ............ (1) #

Nun wird die Länge der Höhe CN durch die Entfernungsformel angegeben

# sqrt {(a-3) ^ 2 + (b-4) ^ 2} = 2 / sqrt34 #

# (a-3) ^ 2 + ( frac {29-3a} {5} -4) ^ 2 = (2 / sqrt34) ^ 2 #

# a = 46/17, 56/17 #

Einstellung der obigen Werte von #ein# in (1) die entsprechenden Werte von # b # jeweils sind

# b = 71/17, 65/17 #

daher die Endpunkte der Höhe # CN # sind

#(46/17, 71/17), (56/17, 65/17)#