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Wie können trigonometrische Funktionen verwendet werden, um # 2 e ((7 pi) / 12 i) # zu einer nicht exponentiellen komplexen Zahl zu vereinfachen?

Antworten:

Erklärung wird unten gegeben.

Erläuterung:

Eulers Formel # e ^ (i theta) = cos (theta) + i sin (theta) #

Unsere frage # 2e ^ ((7pi) / 12 i) # kann vereinfacht werden, um die Euler-Formel als zu verwenden

# 2 (cos ((7pi) / 12) + i sin ((7pi) / 12)) #

Jetzt müssen wir das bewerten.

#cos ((7pi) / 12) = cos (pi / 4 + pi / 3) #
#cos ((7pi) / 12) = cos (pi / 4) cos (pi / 3) - sin (pi / 4) sin (pi / 3) #
#cos ((7pi) / 12) = sqrt (2) / 2 * 1/2 - sqrt (2) / 2 * sqrt (3) / 2 #
#cos ((7pi) / 12) = sqrt (2) / 4 - sqrt (6) / 4 #
#cos ((7pi) / 12) = (sqrt (2) -sqrt (6)) / 4 #

#sin ((7pi) / 12) = sin (pi / 4 + pi / 3) #
#sin ((7pi) / 12) = sin (pi / 4) cos (pi / 3) + cos (pi / 4) sin (pi / 3) #
#sin ((7pi) / 12) = sqrt (2) / 2 * 1/2 + sqrt (2) / 2 * sqrt (3) / 2 #
#sin ((7pi) / 12) = sqrt (2) / 4 + sqrt (6) / 4 #
#sin ((7pi) / 12) = (sqrt (2) + sqrt (6)) / 4 #

Die komplexe Nummer wäre
# 2 ((sqrt (2) -sqrt (6)) / 4 + i (sqrt (2) + sqrt (6)) / 4) #
# 1/2 ((sqrt (2) -sqrt (6)) + i (sqrt (2) + sqrt (6))) #

Das sollte für eine Antwort ausreichen, je nachdem, wie die Antwort dargestellt werden muss, ist eine weitere Vereinfachung möglich.