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Was ist #int e ^ (5x + 1) sin (2x + 3) dx #?

Antworten:

# int e ^ (5x + 1) sin (2x + 3) dx = e ^ (5x + 1) ((5sin (2x + 3) -2cos (2x + 3))) / 29 + C #

Erläuterung:

Wir suchen:

# I = int e ^ (5x + 1) sin (2x + 3) dx #

Verwenden Sie das angegebene Ergebnis:

# int e ^ (ax) cosbx dx = (e ^ (ax) (asinbx-bcosbx)) / (a ^ 2 + b ^ 2) dx # ..... [EIN}

Wir führen jetzt eine Vertretung durch:

Lassen # u = 2x + 3 => (du) / dx = 2 #; und # x = 1/2 (u-3) #

Einsetzen in das Integral erhalten wir:

# I = int e ^ (5/2 (u-3) +1) sinu (1/2) du #
# = 1/2 int e ^ (5 / 2u-15/2 + 1) sinu du #
# = 1/2 int e ^ (5 / 2u) e ^ (- 13/2) sinu du #
# = 1/2 e ^ (- 13/2) int e ^ (5 / 2u) sinu du #

Wir können das gegebene Ergebnis [A] jetzt verwenden mit:

# a = 5/2 #
# b = 1 #

Geben:

# I = 1/2 e ^ (- 13/2) {(e ^ (5 / 2u) (5 / 2sin1u-1cos1u)) / ((5/2) ^ 2 + 1 ^ 2)} + C #
# = 1/2 e ^ (- 13/2) {(e ^ (5 / 2u) 1/2 (5sinu-2cosu)) / (25/4 + 1)} + C #
# = 1/4 e ^ (- 13/2) {(e ^ (5 / 2u) (5sinu-2cosu)) / (29/4)} + C #
# = e ^ (- 13/2) * (e ^ (5 / 2u) (5sinu-2cosu)) / 29 + C #
# = (e ^ (5 / 2u-13/2) (5sinu-2cosu)) / 29 + C #

Wenn wir jetzt die frühere Ersetzung wiederherstellen:

# I = (e ^ (5/2 (2x + 3) -13/2) (5sin (2x + 3) -2cos (2x + 3))) / 29 + C #
# = (e ^ (5x + 15/2-13/2) (5sin (2x + 3) -2cos (2x + 3))) / 29 + C #
# = (e ^ (5x + 1) (5sin (2x + 3) -2cos (2x + 3))) / 29 + C #