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Wie können Sie die Taylorerweiterung von #sin x # über x = 0 finden?

Die Taylor-Serienformel lautet:

#sum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (a)) / (n!) (x-a) ^ n #

Die Taylor-Serie herum #a = 0 # (nicht #x = 0 #... die Frage ist technisch aus) ist auch als Maclaurin-Serie bekannt. Sie können es dann schreiben als:

#sum_ (n = 0) ^ N (f ^ ((n)) (0)) / (n!) x ^ n #

# = (f (0)) / (0!) x ^ 0 + (f '(0)) / (1!) x ^ 1 + (f' '(0)) / (2!) x ^ 2 + (f '' '(0)) / (3!) x ^ 3 + (f' '' '(0)) / (4!) x ^ 4 + ... #

Sie wissen also, dass Sie einige Derivate nehmen müssen. # sinx # hat cyclische Derivate, die diesem Muster folgen:

#Farbe (grün) (sinx) = f ^ ((0)) (x) = Farbe (grün) (f (x)) #

# d / (dx) [sinx] = Farbe (grün) (cosx = f '(x)) #

# d / (dx) [cosx] = Farbe (grün) (- sinx = f '' (x)) #

# d / (dx) [- sinx] = Farbe (grün) (- cosx = f '' '(x)) #

# d / (dx) [- cosx] = Farbe (grün) (sinx = f '' '' (x)) #

Schließlich können Sie das Ganze aufschreiben, wenn Sie es wissen #trig (0) = 0 #verschwindet der ganze Begriff. # sinx # erscheint in jeder geraden Ableitung. Daher, #f (x) #, #f '' (x) #und jede gerade Ableitung verschwindet.

Sie müssen sich nur mit merkwürdigen Begriffen auseinandersetzen, die alle gerecht sind #1# im Zähler und die Zeichen wechseln sich abwechselnd vor den Zeichen ab # cosx #.

# => löschen ((f (0)) / (0!) x ^ 0) + (f '(0)) / (1!) x ^ 1 + löschen ((f' '(0)) / (2 !) x ^ 2) + (f '' '(0)) / (3!) x ^ 3 + cancel ((f' '' '(0)) / (4!) x ^ 4) + ... #

# = cos (0) x + ((-cos (0)) x ^ 3) / 6 + (cos (0) x ^ 5) / 120 + ((-cos (0)) x ^ 7) / 5040 + # #

# = Farbe (blau) (x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ...) #