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Frage # 312d6

Antworten:

#h ^ (- 1) (x) = -sqrt (4-x) #

Erläuterung:

Das invers einer Funktion # f # ist eine Funktion #f ^ (- 1) # so dass #f ^ (- 1) (f (x)) = x # für jeden # x # in der Domäne von # f #.

Ein Trick, um die Umkehrung einer Funktion zu finden # f # ist zu setzen # x = f (y) # und dann für lösen # y #. Die resultierende Gleichung hat die Form # y = f ^ (- 1) (x) #.

Wenn wir diesen Trick auf die gegebene Funktion anwenden, stoßen wir auf ein Problem:

Lassen #x = h (y) = 4-y ^ 2 #

# => y ^ 2 = 4-x #

# => y = + -sqrt (4-x) #

Es scheint also, dass wir hätten #h ^ (- 1) (x) = + -sqrt (4-x) #. Leider ist dies keine Funktion, da eine Funktion per Definition nur einen Wert für eine bestimmte Eingabe erzeugen kann. Hier verlassen wir uns auf die zusätzlichen Informationen, die im Problem angegeben sind.

Das ist uns gegeben #x <= 0 #, bedeutet, dass #h ^ (- 1) (h (x)) <= 0 #. Dies sagt uns, dass die inverse Funktion negative Werte erzeugen sollte, was bedeutet, dass wir wollen # -sqrt (4-x) #, eher, als #sqrt (4-x) #. So lautet unsere abschließende Antwort

#h ^ (- 1) (x) = -sqrt (4-x) #

(Als Randbemerkung müssen wir uns keine Sorgen machen, die Quadratwurzel einer negativen Zahl als Domäne von anzunehmen #h ^ (- 1) # ist das gleiche wie der Bereich von # h #, welches ist # (- oo, 4] #. Daher werden wir uns nicht bewerben #h ^ (- 1) # auf einen Wert größer als #4#.)