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Betrachten Sie die durch f (x) = sinx / x definierte Funktion, wenn # -1 <= x <0 #, ax + b wenn # 0 <= x 1. Wie bestimmen Sie a und b, so dass f (x) stetig ist auf [-1,2]?

Antworten:

# a = -cos1 ~~ = 0.540 #
# b = 1 #

Erläuterung:

Angenommen, wir arbeiten im Bogenmaß.

Wir wollen unsere Funktion, #f (x) # zu definieren durch:

# f (x) = {(sinx / x, -1 le x lt 0), (ax + b, 0 lt x le 1), ((1-cosx) / x, x gt 1):} #

Bezeichnen wir jede Unterfunktion mit # f_1 (x), f_2 (x) # und # f_3 (x) # so dass:

# f (x) = {(f_1 (x) = sinx / x, -1 le x lt 0), (f_2 (x) = ax + b, 0 lt x le 1), (f_3 (x) = (1) -cosx) / x, x gt 1):} #

Wir können zur Veranschaulichung grafisch darstellen, # f_1 (x) # und # f_3 (x) # für die Domain #x in RR #

Und wir stellen fest, dass alle drei Unterfunktionen für sich durchgehend sind.

Wenn wir jetzt die Funktionen untersuchen # f_1 (x) # und # f_1 (x) # beschränkt auf die entsprechenden Domains, die wir haben:

Wie erwartet, gibt es also an den Knotenpunkten eine Diskontinuität # f_1 (x) # und # f_2 (x) # und zwischen # f_2 (x) # und # f_3 (x) # so wie wir eine lineare Funktion benötigen # ax + b # Um die Kontinuität zu vervollständigen, müssen wir nur die zwei mit der Diskontinuität verbundenen Koordinaten und die eindeutige Gleichung der geraden Linie finden, die [durch diesen Punkt verläuft.

Unter Verwendung einiger Standard-Trigonometrie-Grenzwerte haben wir:

Wann # x = 0 => f_1 (x) = lim_ (x rarr 0) sinx / x = 1 #
Wann # x = 1 => f_3 (x) = lim_ (x rarr 0) (1-cosx) / x = 1-cos1 #

Die Koordinaten der Diskontinuitäten sind also:

#(0,1)# und # (1,1-cos1) #

Verwenden Sie also die Gerade-Punkt-Punkt-Gleichung:

# (y-y_1) / (y_2-y_1) = (x-x_1) / (x_2-x_1) #

dann ist die Gleichung, nach der wir suchen:

# (y-1) / (1-cos1-1) = (x-0) / (1-0) #

#:. (y-1) / (- cos1) = x #
#:. y-1 = -xcos1 #
#:. y = -xcos1 + 1 #

So vergleichend #y = -xcos1 + 1 # mit y = ax + b # benötigen wir:

# a = -cos1 ~~ = 0.540 #
# b = 1 #