Skip to main content

Wie können Sie das ideale Gasgesetz ableiten?

Die ideale Gasgleichung ergibt sich aus experimentellen Nachweisen.

Aus Charles 'Gesetz

#V Stütze T # beim # p # Konstante.

Aus dem Boyle'schen Gesetz

# pV # ist konstant bei # T # Konstante.

Auch aus dem Avogadro-Gesetz, dass gleiche Volumina von Gasen bei derselben Temperatur und demselben Druck die gleiche Anzahl von Molekülen haben,

#V Stütze N # bei konstant # T # und # p #, woher # N # ist die Anzahl der Moleküle.

Die obigen Ergebnisse werden sofort kombiniert, um dies zu erhalten.

#pV prop NT #
#implies (pV) / (NT) = #Konstante

Deshalb,

# (pV) / (TN) = k_B # woher # k_B # ist eine Konstante, die als Boltzmann-Konstante bekannt ist.
Daher,

#pV = k_BNT #

Aber für # mu # Mol Gas ist die Anzahl der Moleküle #N = muN_A # woher #N / A# ist die Avogadro-Nummer.

Somit, #pV = muk_BN_AT #

So kommen wir endlich zum idealen Gasgesetz:

#pV = muRT #

Woher, #R = k_BN_A # ist eine andere Konstante, die als Universalkonstante bezeichnet wird.

Antworten:

Ein anderer Weg, auf den ich kürzlich gestoßen bin, ist im Wesentlichen eine Ableitung. Ich werde unten erläutern.

Erläuterung:

In der statistischen Mechanik wird die freie Helmholtz-Energie angegeben als

#A = -k_BTln Z # woher # Z # ist die Partitionsfunktion.

Aber,

#zeta = sum g_ie ^ (- E_i / (k_BT)) #

Wenn die Energieniveaus eng beieinander liegen,

#zeta = int g (E) e ^ (- E / (k_BT)) dE # woher #g (E) # ist die Zustandsdichte.

Jedoch, #g (E) dE = (2piV) / h ^ 3 (2m) ^ (3/2) sqrtEdE #

Daher ist die Verteilungsfunktion jedes Moleküls (Subsystem),

#zeta = int e ^ (- E / (k_BT)) (2piV) / h ^ 3 (2m) ^ (3/2) sqrtEdE #

Dies wird von Gamma-Funktionen ausgewertet und lautet

#zeta = V / h ^ 3 (2pimk_BT) ^ (3/2) #

Nun besteht die Partitionsfunktion des Gesamtsystems aus # N # Moleküle, die nicht zu unterscheiden sind,

#Z = Zeta ^ N / (N (N-1) (N-2) ... 1) #

Jedoch von Thermodynamics,

#p = - ((delA) / (delV)) # bei konstant # T #

#implies p = (Nk_BT) / V #

So erhalten wir die ideale Gasgleichung, #pV = Nk_BT # das kann umgeschrieben werden als #pV = muRT # woher #N = muN_A # und #N_Ak_B = R #

Aritra hat eine gute statistische Mechanik, aber ich möchte eine liefern, die bis zur Partikelstatistik reicht.

Als Bonus erhalten wir Ausdrücke für #G#, # mu #, #EIN#, und # S # in Bezug auf die Teilungsfunktion und innere Energie!


Die meisten Partikel (nämlich so genannte korrigierte Bolzenzonen) haben eine statistische Verteilung gegeben von (Norman Davidson, Statistische Mechanik, 1969):

#lnt = sum_i (N_i ln (g_i / N_i) + N_i) #

woher # t # gibt die Anzahl der Mikrozustände im System mit an # N_i # Teilchen in einem Energiezustand # epsilon_i # der Entartung # g_i #.

Das Boltzmann-Formulierung der Entropie ist bekannt:

#S = k_Blnt #

Solange die Energie in einem System ist nur eine Funktion der Lautstärke (und nicht die Entropie selbst) können wir zunächst die absolute Entropie aus dieser bekannten Verteilung herausfinden:

#S = k_B sum_i (N_i ln (g_i / N_i) + N_i) #

EIN konservatives System wird durch eine konstante Anzahl von Teilchen und Energie begrenzt, so dass

  • Die Gesamtzahl der Teilchen ist auf beschränkt #N = sum_i N_i #.

  • Die gesamte innere Energie ist auf beschränkt #E = sum_i N_iepsilon_i #.

Darüber hinaus ist die Verteilung der Staaten ist gegeben durch:

# N_i / N = (g_ie ^ (- epsilon_i // k_BT)) / (sum_i g_i e ^ (- epsilon_i // k_BT) #

woher # q # ist der mikrokanonische Partitionsfunktion, #q = sum_i g_ie ^ (- epsilon_i // k_BT) #, und # q # ist nur eine Funktion von Temperatur und Volumen.

Als Ergebnis kann die absolute Entropie wie folgt umgeschrieben werden:

#S = k_B [sum_i N_i ln (q / N e ^ (epsilon_i // k_BT)) + sum_i N_i] #

Schon seit # q # und # N # unabhängig davon, um welchen Partikelindex es sich handelt,

#S = k_B [In (q / N) sum_i N_i + sum_i N_iln (e ^ (epsilon_i // k_BT)) + sum_i N_i] #

Aus den gegebenen Einschränkungen ergibt sich die absolute Entropie ist:

#barul (| stackrel ("") ("" S = Nk_Bln (q / N) + E / (T) + Nk_B "") |) #

(Als eine lustige Tatsache kann aus dieser Gleichung die molekulare Entropie abgeleitet werden, die sich auf der Rückseite der Lehrbücher der Allgemeinen Chemie befindet.)

Aus der Idee, dass die freie Energie der Gibbs als eine Funktion der Enthalpie und Entropie gegeben wird, #G = H - TS #.

Ebenso haben wir auch die Helmholtz-Energie #A = E - TS #, woher # E # ist die innere Energie. Wir bekommen dann:

#A = cancelE - (Nk_BTln (q / N) + cancelE + Nk_BT) #

# => barul (| stackrel ("") ("" A = -Nk_BTln (q / N) - Nk_BT "") |) #

Das Chemisches Potential # mu # ist in der Maxwell-Beziehung vieler thermodynamischer Funktionen zu finden, es ist jedoch am bequemsten, sie innerhalb der freien Helmholtz-Energie abzurufen:

#dA = -SdT - PdV + sum_i mu_idN_i #

# mu # hängt mit der freien Energie der molekularen Gibbs und der freien Energie von Helmholtz zusammen:

#mu = G / N = ((delA) / (delN)) _ (T, V) #

# = -k_BT (N cdot (delln (q // N)) / (delN) + ln (q / N)) - k_BT #

Schon seit # q # ist eine Funktion von # T # und # V # aber nicht von # N #,

#barul (| stackrel ("") ("" mu = -k_BTln (q / N) "") |) #

Zum Vergleich da #Nmu = G = -Nk_BTln (q / N) #vergleicht das gut mit #EIN# geben:

#G = A + Nk_BT #

Von der Thermodynamik genauso #H = E + PV #, schon seit #G = H - TS # und #A = E - TS #das haben wir auch

#G = H - TS #

# = -TS + E + PV #

# = A + PV #.

deshalb, die ideales Gasgesetz ist:

#color (blau) (barul (| stackrel ("") ("" PV = Nk_BT = nRT "") |)) #

woher # N / nk_B = N_Ak_B = R #mit # n # die mols von gas und sein # N # die Anzahl der Gaspartikel ist.

Dies gilt, solange "die Anzahl der Systemzustände in den Subsystemen der Anzahl in der wahrscheinlichsten Verteilung entspricht" (Norman Davidson, Statistische Mechanik, 1969).