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Bewerten Sie den folgenden Begriff # int_0 ^ (3pi / 2) 5 | sinx | dx # .Wie würde ich dies mit FTC2 (F (b) -F (a)) tun?

Antworten:

Wir müssen das Integral aufteilen.

Erläuterung:

Erinnere dich daran #absu = {(u, "wenn", u> = 0), (- u, "wenn", u <0):} #

so #abs (sinx) = {(sinx, "wenn", sinx> = 0), (- sinx, "wenn", sinx <0):} #.

Wir integrieren uns auf # [0, (3pi) / 2] # und das wissen wir

# {(sinx> = 0, "wenn", 0 <= x <= pi), (sinx <0, "wenn", pi <x <= (3pi) / 2):} #

Deshalb,

#abs (sinx) = {(sinx, "wenn", 0 <= x <= pi), (- sinx, "wenn", pi <x <(3pi) / 2):} #.

# int_0 ^ ((3pi) / 2) 5abs (sinx) dx = 5int_0 ^ ((3pi) / 2) abs (sinx) dx #

# = 5 [int_0 ^ pi sinx dx + int_pi ^ ((3pi) / 2) -sinx dx] #

# = 5 [int_0 ^ pi sinx dx - int_pi ^ ((3pi) / 2) sinx dx] #

Nutzen Sie jetzt die Tatsache #int sinx dx = -cosx + C # um jedes der Integrale zu finden.

# = 5 [{: - cosx] _0 ^ pi + {: cosx] _pi ^ ((3pi) / 2)] #

# = 5 [(- cospi + cos0) + (cos ((3pi) / 2) -cospi)] #

# = 5[(-(-1)+1+0-(-1)]#

# = 5[3] = 15#

Bonusmethode

Manche Leute integrieren sich lieber #abs (f (x)) # indem Sie einfach von einer Null zur nächsten integrieren, ohne zuerst das Vorzeichen zu ändern. Jedes Integral, das negativ ausfällt, machen wir positiv.

Die Notation für diese Technik lautet

# int_0 ^ ((3pi) / 2) 5abs (sinx) dx = abs (int_0 ^ pi 5sinx dx) + abs (int_pi ^ ((3pi) / 2) 5sinx dx) #

Das erste dieser beiden Integrale ist positiv und das zweite ist negativ. (Deshalb hat die erste Methode das Vorzeichen für das zweite Integral geändert Vor integrieren.)