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Frage # 93b6d

Um das zu beweisen, ein Satz # V # ist ein Vektorraum über einem Feld # F # Bei gegebenen Operationen zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation müssen die folgenden Bedingungen geprüft werden:

  • # V # wird unter endlicher Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen
  • Vektoraddition ist kommutativ
  • Vektoraddition ist assoziativ
  • # V # enthält eine additive Identität (den Nullvektor)
  • Für alle #v in V # es gibt eine additive Inverse # -v in V #
  • Skalare Multiplikation ist assoziativ
  • # F # enthält ein Identitätselement für die Skalarmultiplikation
  • Skalarsummen sind distributiv
  • Vektorsummen sind distributiv

In diesem Fall müssen wir jedoch nicht so weit gehen. Die Menge, die wir testen, ist eigentlich eine Teilmenge aller fortlaufenden Funktionen #f: RR-> RR #, das ist ein bekannter Vektorraum. Wenn uns das nicht gegeben wird, können wir immer noch Schritt für Schritt gehen und beweisen, dass jede der obigen Bedingungen erfüllt ist, aber um zu beweisen, dass eine Teilmenge vorliegt # W # eines vektorraums # V # ist auch ein Vektorraum mit den gleichen Operationen und Feldern, d. h # W # Unterraum von # V #Wir müssen nur das überprüfen:

  • # W # ist nicht leer
  • # W # wird unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen.

(Beachten Sie, dass wir die meisten Bedingungen nicht explizit anzeigen müssen, da sie aufgrund von wahr bleiben # V # ein Vektorraum mit diesen Operationen sein)

Beweis: Das werden wir zeigen #V = sum_ (i = 0) ^ na_i (x) v ^ ((i)) = 0, x in [a, b] # ist ein Unterraum von #C (RR) #die Menge der kontinuierlichen Funktionen auf den Realen.

Lassen # v_1, v_2 in V #, das ist, # v_1 # und # v_2 # sind kontinuierliche Lösungen für die gegebene Differentialgleichung. Lassen # c_1 in RR #. Nehmen Sie zusätzlich an #x in [a, b] #

Nicht leer:
#sum_ (i = 0) ^ na_i (x) * 0 ^ ((n)) = sum_ (i = 0) ^ na_i (x) * 0 #

# = sum_ (i = 0) ^ n0 #

#=0#

Somit # 0 in V #bedeutung # V # ist nicht leer

Schließung unter Addition und Skalarmultiplikation:
#sum_ (i = 0) ^ na_i (x) (c_1 (v_1 + v_2)) ^ ((i)) = sum_ (i = 0) ^ na_i (x) c_1 (v_1 + v_2) ^ ((i )) #

# = c_1sum_ (i = 0) ^ n (a_i (x) v_1 ^ ((i)) + a_i (x) v_2 ^ ((i))) #

# = c_1 (sum_ (i = 0) ^ na_i (x) v_1 ^ ((i)) + sum_ (j = 0) ^ na_j (x) v_2 ^ ((j))) #

# = c_1 (0 + 0) #

#=0#

Somit # c_1 (v_1 + v_2) in V #, das zu demonstrieren # V # wird unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen.

Durch die Bedingungen für die Überprüfung eines Unterraums eines Vektorraums # V # ist ein Unterraum von #C (RR) #bedeutung # V # ist ein Vektorraum.