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Eine Pyramide hat eine parallelogrammförmige Basis und eine Spitze direkt über ihrer Mitte. Die Seiten der Basis haben Längen von # 2 # und # 7 # und die Höhe der Pyramide beträgt # 7 #. Wenn eine der Ecken der Basis einen Winkel von # (5pi) / 6 # hat, wie groß ist dann die Fläche der Pyramide?

Antworten:

# 7 + (7sqrt (197)) / 2+ (7sqrt (17)) / 2 ~ = 70.555 #

Erläuterung:

Ansichten des Festkörpers

Daten:
# AB = CD = 7 #
# AD = BC = 2 #
# EM = 7 #
#B hat A D = 150 ^ @ #

#S _ ("Parallelogramm") = b * h_1 = 7 * 2 * cos60 ^ @ = 7 * 1 = 7 #

Das kann man beweisen # AM = CM # und # BM = DM # (unter Verwendung des Winkelseitenwinkels). Deshalb:
#triangle_ (AEM) - = Dreieck_ (CEM) => AE = CE #
und #triangle_ (BEM) - = Dreieck_ (DEM) => BE = DE #
was bedeutet das:
#triangle_ (ABE) - = Dreieck_ (CDE) #
und #triangle_ (ADE) - = Dreieck_ (BCE) #

Was wir also zur Lösung des Problems brauchen, ist folgendes zu finden:
Höhe von #triangle_ (ABE) #, # h_2 # in der 4. Abbildung oben
Höhe von #triangle_ (ADE) #, # h_3 # in der fünften Abbildung oben

  • Auffinden der Diagonalen des Parallelogramms (unter Verwendung des Cosines-Gesetzes)
    # BD ^ 2 = AB ^ 2 + AD ^ 2-2 * AB * AD * cos150 ^ @ #
    # BD ^ 2 = 4 + 49-2 * 2 * 7 * (- sqrt (3) / 2) #
    # BD ^ 2 = 53 + 14sqrt3 => BD = sqrt (53 + 14sqrt3) #

# AC ^ 2 = AB ^ 2 + BC ^ 2-2 * AB * BC * cos30 ^ @ #
# AC ^ 2 = 4 + 49-2 * 2 * 7 * (sqrt3 / 2) #
# AC ^ 2 = 53-14sqrt3 => AC = sqrt (53-14sqrt3) #

Finden der schrägen Kante AE mit #triangle_ (AEM) # in welchem # AM = (AC) / 2 #
# AE ^ 2 = EM ^ 2 + ((AC) / 2) ^ 2 #
# AE ^ 2 = 7 ^ 2 + (53-14sqrt3) / 4 = (196 + 53-14sqrt3) / 4 = (249-14sqrt3) / 4 #

Finden der schrägen Kante BD mit #triangle_ (BEM) # in welchem # BM = (BD) / 2 #
# BE ^ 2 = EM ^ 2 + ((BD) / 2) ^ 2 #
# BE ^ 2 = 7 ^ 2 + (53 + 14sqrt3) / 4 = (196 + 53 + 14sqrt3) / 4 = (249 + 14sqrt3) / 4 #

  • Die Höhe finden # h_2 # mit #triangle_ (ABE) #4. Abbildung
    # AE ^ 2 = h_2 ^ 2 + m ^ 2 => h_2 ^ 2 = AE ^ 2-m ^ 2 #
    # BE ^ 2 = h_2 ^ 2 + (7-m) ^ 2 #
    # BE ^ 2 = AE ^ 2-Abbruch (m ^ 2) + 49-14m + Abbruch (m ^ 2) #
    # 14m = AE ^ 2-BE ^ 2 + 49 => m = (7-sqrt3) / 2 #
    # -> m ^ 2 = (49-14sqrt3 + 3) / 4 = (52-14sqrt3) / 4 #

# h_2 ^ 2 = AE ^ 2-m ^ 2 = (249-Abbruch (14sqrt3)) / 4- (52-Abbruch (14sqrt3)) / 4 #
# h_2 ^ 2 = 197/4 => h_2 = sqrt197 / 2 #
Wir können auch finden # h_2 # auf diese Weise:
# h_2 ^ 2 = (h_1 / 2) ^ 2 + EM ^ 2 = (1/2) ^ 2 + 7 ^ 2 = 1/4 + 49 = 197/4 # => # h_2 = sqrt197 / 2 #

  • Die Höhe finden # h_3 # mit #triangle_ (ADE) #Fünfte Abbildung
    # AE ^ 2 = h_3 ^ 2 + n ^ 2 => h_3 ^ 2 = AE ^ 2-n ^ 2 #
    # DE ^ 2 = h_3 ^ 2 + (2 + n) ^ 2 #
    # DE ^ 2 = AE ^ 2-Abbruch (n ^ 2) + 4 + 4n + Abbruch (n ^ 2) #
    # 4n = DE ^ 2-AE ^ 2-4 = (249 + 14sqrt3) / 4- (249-14sqrt3) / 4-4 #
    # n = 7 * sqrt3 / 4-1 #
    # -> n ^ 2 = 147 / 16-7 * sqrt3 / 2 + 1 => n ^ 2 = 163 / 16-7 * sqrt3 / 2 #

# h_3 ^ 2 = AE ^ 2-n ^ 2 = (249-14sqrt3) / 4-163 / 16 + 7 * sqrt3 / 2 #
# h_3 ^ 2 = 833/16 => h_3 = (7sqrt17) / 4 #
Wir können auch finden # h_3 # auf diese Weise:
# h_3 ^ 2 = ((7cos60 ^ @) / 2) ^ 2 + EM ^ 2 = (7/4) ^ 2 + 7 ^ 2 = 49/16 + 49 = 833/16 => h_3 = (7sqrt17) / 4 #

Endlich:

# S_T = S_ "Paralellogramm" + 2 * S_ (Dreieck_ (ABE)) + 2 * S_ (Dreieck_ (ADE)) #
# S_T = 7 + Abbruch (2) * (7 * sqrt197 / 2) / Abbruch (2) + Abbruch (2) * (Abbruch (2) * 7 * sqrt17 / Abbruch (4)) / 2 #
# S_T = 7 + (7sqrt197) / 2 + (7sqrt17) / 2 #